数值分析
概述
数值分析（Numerical Analysis）是数学的一个分支，研究用有限步骤的算法近似求解数学问题的方法，并分析其误差、收敛性与稳定性。其核心目标是将连续的数学问题（微分方程、积分、线性方程组等）转化为计算机可执行的离散计算步骤。
关键内容
- 主要研究领域：插值与逼近、数值积分、数值微分、线性方程组求解、特征值计算、常微分方程数值解、偏微分方程数值解
- 核心概念：截断误差（将连续问题离散化引入的误差）、舍入误差（浮点运算精度有限引入的误差）、收敛性（算法是否趋于精确解）、稳定性（误差是否随迭代放大）
- 典型方法：欧拉方法、龙格-库塔方法（ODE）；高斯消元、LU分解（线性方程组）；牛顿法（非线性方程）；辛普森法则、高斯求积（数值积分）；有限差分法、有限元方法（PDE）
- 历史：现代数值分析以高斯、拉格朗日为先驱，20世纪随电子计算机诞生而成为独立学科；冯·诺依曼、威尔金森等人奠定了数值稳定性理论基础