欧拉方法
概述
数值分析中最简单、最基础的常微分方程（ODE）数值解法，也是理解一切现代ODE数值方法的概念出发点。通过沿函数在当前点的切线方向前进一小步来近似微分方程的解，以最直接的方式将连续的微分方程转化为离散的递推计算。
关键内容
- 算法公式：对于初值问题 dy/dt = f(t, y), y(t₀) = y₀，欧拉方法的迭代公式为 y_{n+1} = y_n + h·f(t_n, y_n)，其中h为步长
- 几何解释：在点(t_n, y_n)处，沿解曲线的切线方向前进一小步h，用切线上的点近似真实解曲线上的点
- 精度分析：局部截断误差为O(h²)，全局截断误差为O(h)，是一阶方法
- 收敛定理：在f(t,y)满足利普希茨条件下，欧拉方法是收敛的
- 历史地位：1768年发表于《积分学教程》第一卷，是系统阐述数值求解微分方程的第一种通用方法
- 理论基础：泰勒级数方法的最简情形，仅保留一阶项
- 变体形式：显式欧拉（前向欧拉）和隐式欧拉（后向欧拉），后者在处理刚性问题时具有稳定性优势
来源
- raw/books/数值分析/02_euler_method_ode.md