龙格-库塔方法
概述
龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）是一族用于数值求解常微分方程（ODE）初值问题的迭代算法，由卡尔·龙格（1895）和马丁·威廉·库塔（1901）相继发展。相比简单的欧拉方法，龙格-库塔方法通过在一个步长内取多个斜率的加权平均，大幅提高了精度而不显著增加计算量。四阶方法（RK4）是工程和科学计算中最广泛使用的标准算法之一。
关键内容
- 核心思想：在区间 $[t_n, t_{n+1}]$ 内取多个"试探斜率"，加权平均后推进数值解
- 四阶 RK4（最常用）：每步计算四个斜率 $k_1, k_2, k_3, k_4$，全局误差为 $O(h^4)$，比欧拉方法（$O(h)$）高四阶
- 自适应步长：现代实现（如 RK45）通过比较不同阶方法的结果，自动调整步长以控制局部误差，是科学计算库（scipy, MATLAB ode45）的默认ODE求解器
- 显式 vs 隐式：标准 RK4 为显式方法，适合非刚性问题；刚性 ODE 需用隐式 Runge-Kutta（如 Gauss-Legendre 方法）
- 历史：龙格（1895）首先提出二阶形式，库塔（1901）推广至高阶并系统化理论