高斯求积公式
概述
1814年高斯发表的数值积分方法，通过同时优化积分节点位置和权重，使 $n$ 个节点的求积公式达到 $2n-1$ 次多项式的精确度——是理论上限，比同等节点数的 Newton-Cotes公式（固定等距节点，精度 $n-1$）高出近一倍。节点恰好是勒让德多项式的零点，所有权重均为正数。
关键内容
核心定理
精度最优定理：$n$ 点高斯求积公式对所有次数 $\leq 2n-1$ 的多项式精确成立，且 $2n-1$ 是不可超越的上界。
求积公式形式：
$$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)$$
- 节点 $x_i$：$n$ 次勒让德多项式 $P_n(x)$ 的 $n$ 个零点（全在 $(-1,1)$ 内）
- 权重 $w_i = \dfrac{2}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}$，均为正数
为何优于 Newton-Cotes
| Newton-Cotes | 高斯求积 | |
|---|---|---|
| 节点 | 预先固定（等距） | 同时优化 |
| 自由参数 | $n$ 个权重 | $n$ 节点 + $n$ 权重 = $2n$ |
| 精度 | $n-1$（或 $n$） | $2n-1$ |
| 权重正性 | 高阶时出现负权重 | 始终为正 |
低阶具体公式
| $n$ | 节点 | 权重 | 精确至 |
|---|---|---|---|
| 1 | $0$ | $2$ | 1次多项式（中点法则） |
| 2 | $\pm 1/\sqrt{3}$ | $1,1$ | 3次多项式 |
| 3 | $0,\,\pm\sqrt{3/5}$ | $8/9,\,5/9,\,5/9$ | 5次多项式 |
与正交多项式的联系
不同权函数对应不同正交多项式族，衍生出各类高斯求积变体： - Gauss-Legendre：$w(x)=1$，$[-1,1]$，使用勒让德多项式（最常用） - Gauss-Chebyshev：$w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$，使用切比雪夫多项式 - Gauss-Laguerre：$w(x)=e^{-x}$，$[0,\infty)$，使用拉盖尔多项式 - Gauss-Hermite：$w(x)=e^{-x^2}$，$(-\infty,\infty)$，使用埃尔米特多项式 - Gauss-Jacobi：$w(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$，使用雅可比多项式
误差估计
$$E_n[f] = \frac{2^{2n+1}(n!)^4}{(2n+1)[(2n)!]^3} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1)$$
精度依赖被积函数的第 $2n$ 阶导数——函数越光滑，精度越高。
核心直觉：充分利用自由度
Newton-Cotes 预先固定节点，浪费了 $n$ 个自由参数。高斯让节点也参与优化，用全部 $2n$ 个自由度满足 $2n$ 个精度条件，精度因此翻倍。正交性将表观上的 $2n-1$ 次问题"降维"为 $n-1$ 次问题，使这一最优解切实可构造。
实践应用
- 有限元方法：刚度矩阵和质量矩阵积分的标准工具
- 谱方法：在高斯节点上离散化函数
- 自适应积分：Gauss-Kronrod 公式（Kronrod, 1964）在 $n$ 点基础上加 $n+1$ 个新节点，用误差估计驱动自适应步长（被 QUADPACK、GSL 等采用）
- 节点计算：Golub-Welsch 算法（1969）将节点计算转化为对称三对角矩阵特征值问题
局限性
- 维度灾难：$d$ 维张量积需 $n^d$ 个求值点；稀疏网格（Smolyak, 1963）部分缓解
- 光滑性依赖：不光滑函数（间断、奇异）收敛退化
- 非嵌套：$n+1$ 点公式的节点与 $n$ 点完全不同，无法重用旧求值
理论完善历程
高斯（1814）给出结果但证明不完全严格；完整框架由 Jacobi（1826）、Christoffel（1858）、Stieltjes（1884）逐步建立。
来源
- raw/books/数值分析/05_gauss_quadrature.md