Wiener 过程
概述
Wiener 过程（布朗运动）是概率论中最重要的连续时间随机过程：具有独立平稳正态增量、几乎处处连续路径，由诺伯特·维纳于1923年在Wiener测度框架下首次严格构造。
关键内容
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定义性质：标准 Wiener 过程 ${B(t)}_{t \geq 0}$ 满足：$B(0)=0$；增量 $B(t)-B(s) \sim N(0, t-s)$ 对 $0 \leq s < t$；不重叠区间上的增量相互独立；路径 $t \mapsto B(t)$ 几乎处处连续。
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路径正则性（核心结果）：以概率1，Wiener 过程路径是连续函数，但在每一点处不可微。更精确地，路径几乎处处是 $\alpha$-Hölder 连续的对任意 $\alpha < 1/2$，但对 $\alpha \geq 1/2$ 不成立。指数 $1/2$ 是"连续与可微之间"的临界点，对应 $\Delta B \sim \sqrt{\Delta t}$。
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不可微性的直觉：$B'(t) \approx \Delta B / \Delta t \sim 1/\sqrt{\Delta t} \to \infty$，即"导数"趋于无穷——这是纯粹随机性在微观尺度上的必然代价。处处不可微意味着路径在任何尺度下都是锯齿状的（尺度不变的粗糙）。
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关键路径性质：
- 自相似性：${B(ct)} \overset{d}{=} {\sqrt{c}\, B(t)}$
- 时间反演：${t B(1/t)}_{t>0}$ 也是 Wiener 过程
- 二次变差：$\sum_k (B(t_k) - B(t_{k-1}))^2 \to t$（这是Itô随机积分理论的关键）
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常返性（一维）：以概率1，布朗运动将无限次到达任意实数点
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三大中心角色：Wiener 过程同时是：最简单的连续时间马尔可夫过程（连续路径）；最简单的连续时间鞅（$B(t)$、$B(t)^2-t$、$e^{\lambda B(t) - \lambda^2 t/2}$ 均为鞅）；对称随机游走在时空同时缩放下的极限（空间步长 $\propto \sqrt{\text{时间步长}}$）。
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历史背景：物理现象由罗伯特·布朗（1827）发现，物理理论由爱因斯坦（1905）给出，路易·巴舍利耶（1900）独立描述了有限维分布。诺伯特·维纳（1923）通过Wiener测度给出了第一个严格的数学存在性证明。
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分形维数：Wiener 过程路径的图像 Hausdorff 维数为 $3/2$（在 $\mathbb{R}^2$ 中）；$d$ 维布朗运动轨迹的维数为 $\min(2, d)$。
来源
- raw/books/概率论/13_wiener_brownian_motion — 全文（核心问题、主要结论、路径性质、重要性、对后续影响）