Wiener 积分

概述

Wiener 积分是诺伯特·维纳在路径空间上定义的对确定性函数的积分 $\int_0^1 f(t)\,dB(t)$，是随机积分最早的严格形式，后被Itô随机积分推广。

关键内容

1. 定义：对 $L^2[0,1]$ 中的确定性函数 $f$，Wiener 积分定义为 Riemann-Stieltjes 型极限：$$\int_0^1 f(t)\,dB(t) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(t_{k-1})\bigl(B(t_k) - B(t_{k-1})\bigr)$$均方极限在 $L^2$ 中存在且唯一。

2. 统计性质：结果是均值为0的高斯随机变量，方差为 $\int_0^1 f(t)^2\,dt$（Wiener 等距）——被积函数的 $L^2$ 范数完全决定了积分的分布。

3. 关键约束：确定性被积函数：被积函数 $f(t)$ 不能依赖于 $B$ 本身。这一约束来自Wiener过程路径的无界变差（处处不可微），导致依赖路径的 Riemann 和不收敛。突破这一约束需要Itô随机积分的新框架。

4. 与 Feynman 路径积分的联系：Feynman 量子力学路径积分的灵感部分来源于 Wiener 积分，两者通过 Wick 旋转 $t \to it$ 相联系。Wiener 积分是目前最接近严格化的"路径积分"版本。

来源

• raw/books/概率论/13_wiener_brownian_motion — §主要结论：Wiener 积分；§突破了什么瓶颈：路径积分的数学基础

相关

• Wiener过程 — depends_on（需要布朗运动路径作为积分器）
• Itô随机积分 — extends（Itô 积分将 Wiener 积分推广至随机被积函数）
• 诺伯特·维纳 — depends_on（由维纳定义）