Wiener 测度

概述

Wiener 测度是诺伯特·维纳于1923年在连续函数空间 $C_0[0,1]$ 上构造的概率测度，是无穷维空间上第一个严格的概率测度，奠定了Wiener过程（布朗运动）的数学存在性。

构造问题：有限维欧氏空间上的概率测度可通过密度函数定义，但连续函数空间是无穷维的——没有 Lebesgue 测度的类比，密度函数方法失效。Wiener 测度的构造是第一次克服这一障碍。
三步构造：
有限维分布：对任意时刻 $0 < t_1 < \cdots < t_n \leq 1$，指定联合密度 $p(x_1,\ldots,x_n) = \prod_k \frac{1}{\sqrt{2\pi(t_k - t_{k-1})}} \exp!\left(-\frac{(x_k-x_{k-1})^2}{2(t_k-t_{k-1})}\right)$，其中 $t_0=x_0=0$。
Kolmogorov 相容性：验证这些有限维分布满足边际化一致性，从而（由 Kolmogorov 扩展定理）可以定义乘积空间上的测度。
路径连续性：利用 Borel-Cantelli 引理控制细网格上的增量，证明该测度集中在连续函数子集上——这是关键也是最困难的一步。
与 Kolmogorov 扩展定理的关系：Wiener 的方法后来被理解为Kolmogorov 扩展定理的应用范式——先给出满足相容性条件的有限维族，再取极限。维纳的工作（1923）比柯尔莫哥洛夫建立公理体系（1933）早十年。
无穷维概率论的先驱：Wiener 测度开创了无穷维空间上概率论的研究，影响了高斯过程理论、抽象 Wiener 空间（Gross, 1965）和 Malliavin 微积分（1976）。
物理意义：Wiener 测度赋予"连续函数"一个自然的概率权重——越"不规则"（振荡越大）的路径被赋予越小的权重，但测度集中于处处不可微的路径。