随机游走

概述

随机游走是最简单的离散时间随机过程：每步以等概率 $\pm 1$ 移动，均方位移与步数成正比（$\mathbb{E}[S_n^2] = n$），是Wiener过程（布朗运动）的离散前身。

关键内容

1. 定义：令 $X_1, X_2, \ldots$ 为独立同分布的随机变量，$P(X_k = +1) = P(X_k = -1) = 1/2$。对称随机游走定义为 $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，$S_0 = 0$。

2. 基本统计性质：

3. 均值：$\mathbb{E}[S_n] = 0$（无漂移）
4. 均方位移：$\mathbb{E}[S_n^2] = n$（与步数成正比）

5. 标准差：$\text{SD}(S_n) = \sqrt{n}$

6. 连续极限——布朗运动：令时间步长 $\Delta t = T/n$，空间步长为 $\sqrt{\Delta t}$。令 $B^{(n)}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} S_{\lfloor nt/T \rfloor}$，则当 $n \to \infty$ 时，$B^{(n)}(t)$ 在分布意义下收敛到Wiener过程 $B(t)$。这一收敛由中心极限定理保证。关键等式：$\Delta B \propto \sqrt{\Delta t}$，而非 $\Delta t$——这正是布朗运动处处不可微的根源。

7. 马尔可夫性：随机游走是马尔可夫链的典型例子：$S_{n+1}$ 的分布只依赖于 $S_n$，不依赖于历史。

8. 常返性（Pólya 定理）：一维和二维对称随机游走是常返的（以概率1无限次回到原点）；三维及以上是暂态的（以正概率永远离开原点）。这一性质与Wiener过程的常返性完全对应。

9. 应用：随机游走是扩散过程的离散模型，也是 Monte Carlo 方法、MCMC 采样、强化学习（Q-learning 等）、社交网络图分析（PageRank）的基础模型之一。

来源

• raw/books/概率论/13_wiener_brownian_motion — §直觉解释：无穷次掷硬币；§阅读建议

相关

• Wiener过程 — extends（对称随机游走在时空缩放下的连续极限）
• 马尔可夫链 — implements（随机游走是马尔可夫链的典型例子）
• 中心极限定理 — uses（极限定理保证收敛到正态/布朗运动）
• 正态分布 — extends（随机游走的缩放极限服从正态分布）