Weyl特征值不等式

概述

Weyl特征值不等式（1912）是矩阵扰动理论的奠基性定理，由赫尔曼·外尔在证明偏微分方程特征值渐近律的过程中作为技术工具发展而来。核心结论：Hermitian 矩阵 $A$ 和 $B$ 之和 $A+B$ 的每个特征值，受 $A$ 和 $B$ 各自特征值的精确线性控制；扰动矩阵将特征值偏移量限制在谱范数量级内。 该定理将 Hermitian 特征值揭示为矩阵空间上 Lipschitz 连续的函数，是数值线性代数所有对称特征值算法正确性分析的数学基础。

关键内容

主定理（加法不等式）

设 $A, B$ 为 $n \times n$ Hermitian 矩阵，特征值非递减排列：$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$。则对满足 $i+j-1 \leq n$ 的指标：

$$\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$$

对应的下界（$i+j-n \geq 1$ 时）：

$$\lambda_{i+j-n}(A+B) \geq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$$

最常用特例（取 $j=1$ 或 $j=n$）：

$$\lambda_i(A) + \lambda_1(B) \leq \lambda_i(A+B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_n(B)$$

即每个特征值 $\lambda_i(A+B)$ 被夹在 $\lambda_i(A)$ 加上 $B$ 最小/最大特征值之间。

特征值扰动界（Lipschitz连续性）

设 $A$ 为 Hermitian，$E$ 为 Hermitian 扰动，则：

$$\max_{1 \leq i \leq n} |\lambda_i(A+E) - \lambda_i(A)| \leq |E|_2$$

解读：扰动矩阵 $E$ 使每个特征值偏移至多 $|E|_2$（谱范数 = $E$ 的最大特征值绝对值）。这是全局结论，同时控制所有 $n$ 个特征值。

Lipschitz 表述：映射 $A \mapsto \lambda(A)$（有序特征值向量）满足

$$|\lambda(A) - \lambda(B)|_\infty \leq |A - B|_2$$

Lipschitz 常数恰为1，且该界是紧的（可以等号成立）。

证明思路

证明完全依赖极大极小定理的子空间维数论证：

1. 由 Fischer 极大极小，$\lambda_k(A+B) = \min_{\dim V=k} \max_{x \in V, |x|=1} x^*(A+B)x$
2. 取 $k = i+j-1$，构造子空间 $V_0 = U^\perp \cap W^\perp$（$U$ = $A$ 前 $i$ 个特征向量，$W$ = $B$ 前 $j$ 个特征向量），维数论证保证 $\dim(V_0^\perp) \leq i+j$
3. 在适当选取的 $(i+j-1)$ 维子空间上，Rayleigh 商分解为 $x^Ax + x^Bx \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

精髓：将特征值代数问题化为子空间几何问题，通过维数计数（组合论证）连接不同矩阵的谱。

Hermitian 限制的必要性

对于非正规矩阵，Weyl 不等式不成立。考虑 $n$ 阶 Jordan 块 $J_n$（特征值全为0），扰动 $J_n + \varepsilon e_n e_1^T$ 的特征值为 $\varepsilon^{1/n} e^{2\pi ik/n}$——对极小 $\varepsilon$，特征值偏移量仍为 $\varepsilon^{1/n} \gg \varepsilon$。Hermitian 性（自伴性）是特征值稳定性的结构保证。

推广与加强

结果	作者	年份	内容
樊畿</td> <td>Ky Fan 部分和不等式	樊畿	1949
Hoffman-赫尔穆特·维兰特</td> <td>Wielandt不等式	Hoffman & 赫尔穆特·维兰特</td> <td>Wielandt
Lidskii不等式	Lidskii	1950	特征值部分和的约束，$\lambda(A)-\lambda(B)\prec\lambda(A-B)$
Davis-Kahan定理	Davis & Kahan	1970	特征子空间扰动的 $\sin\Theta$ 界
Kato算子扰动论	Kato	1966	无穷维自伴算子推广
Horn猜想（已解决）	Klyachko; Knutson-Tao	1998–1999	特征值完整约束的充要条件，涉及 Schubert 演算

Horn猜想（1962–1999）

Alfred Horn 在1962年提出：Weyl-Lidskii 型不等式是否给出了 $A+B$ 特征值的完整约束？即给定三组实数 $\alpha, \beta, \gamma$，何时存在 Hermitian 矩阵 $A, B$ 使 $\lambda(A)=\alpha, \lambda(B)=\beta, \lambda(A+B)=\gamma$？

1999–2000年，Knutson-Tao 通过蜂巢模型（honeycomb model）结合 Schubert 演算给出完整解答，将矩阵分析与代数几何、组合学深度连接。这是21世纪初数学的重大成就。

现代应用

应用场景	Weyl不等式的作用
数值特征值算法（QR、分治、MRRR）	后向误差分析</td> </tr> <tr> <td>PCA的统计一致性</td> <td>样本协方差与总体协方差的特征值偏差界</td> </tr> <tr> <td>谱聚类稳定性</td> <td>噪声扰动下 Laplacian 特征值的稳定性保证</td> </tr> <tr> <td>量子力学微扰论</td> <td>能级移动的严格误差控制</td> </tr> <tr> <td>随机[[矩阵理论	Wigner 半圆律、Tracy-Widom 分布的证明工具
图论与网络科学	边扰动下 Fiedler 值（代数连通度）的稳定性

局限性

1. 仅限 Hermitian 矩阵：对非正规矩阵不成立，需要伪谱（pseudospectra）理论替代
2. 只给界不给等号：不等式是紧的但不精确，$A+B$ 的特征值在允许范围内可任意取值
3. 无穷维推广复杂：对无界算子需要 Kato 的精细理论框架

来源

• raw/books/矩阵分析/09_weyl_eigenvalue_inequalities_1912.md

相关

• 赫尔曼·外尔
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