Schur分解

概述

Schur分解（Schur Decomposition，或酉三角化定理）是伊赛·舒尔于1909年证明的矩阵分解定理：任意复方阵 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 均可酉相似于上三角矩阵，即存在酉矩阵 $Q$（$Q^Q = I$）和上三角矩阵 $T$，使得 $A = QTQ^$，且 $T$ 的对角元素恰为 $A$ 的全部特征值。该定理是现代矩阵分析与数值线性代数的基石，直接催生了QR算法并统一了正规矩阵谱理论。与 Jordan 标准形相比，Schur 分解在酉变换约束下牺牲了块对角结构，换取了卓越的数值稳定性。

关键内容

主定理

Schur酉三角化定理（1909）

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$。则存在酉矩阵 $Q \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 和上三角矩阵 $T$，使得

$$A = QTQ^*, \quad t_{ii} = \lambda_i \; (i=1,\ldots,n)$$

其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是 $A$ 的全部特征值（计重数，可任意排序）。

等价表述：$\mathbb{C}^n$ 中存在标准正交基，使 $A$ 在此基下为上三角矩阵；等价地，存在 $A$-不变子空间构成的完全旗（complete flag）

$${0} = V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n = \mathbb{C}^n, \quad \dim V_k = k$$

证明（归纳法）

归纳步骤：由代数基本定理取特征值 $\lambda_1$ 及其单位特征向量 $v_1$，用 Gram-Schmidt 扩充为标准正交基构成酉矩阵 $U_1$，得

$$U_1^ A U_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & b^ \ 0 & A' \end{pmatrix}$$

对 $(n-1)$ 阶矩阵 $A'$ 递归应用归纳假设，最终得到 Schur 形式。

证明仅依赖代数基本定理（特征值存在）和 Gram-Schmidt 正交化，无需 Jordan 理论的根子空间分析。

Schur不等式

$$\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2 = |A|_F^2$$

证明：酉变换保 Frobenius 范数，故 $|A|F = |T|_F = \sqrt{\sum_i |t{ii}|^2 + \sum_{i<j}|t_{ij}|^2} \geq \sqrt{\sum_i|\lambda_i|^2}$。

等号成立 $\Longleftrightarrow$ $T$ 的严格上三角部分全为零 $\Longleftrightarrow$ $A$ 为正规矩阵。

正规矩阵刻画

$$A \text{ 正规（}A^A = AA^\text{）} \iff A = QDQ^*, D \text{ 为对角矩阵}$$

推论：Hermite 矩阵（实特征值）、酉矩阵（模为1的特征值）、实对称矩阵（实特征值，正交对角化）均为正规矩阵的特例，它们的谱定理均是 Schur 定理的推论。

与 Jordan 标准形的对比

| 性质 | Jordan 标准形 | Schur 分解 | |------|-------------|----------| | 变换类型 | 一般相似变换 | 酉（保范）相似 | | 标准形结构 | 块对角（Jordan块） | 上三角 | | 数值稳定性 | 差（条件数可任意大） | 好（酉矩阵条件数=1） | | 唯一性 | 唯一（块排列确定后） | 不唯一（特征值排列任意） | | 精细程度 | 最细（完整代数结构） | 较粗（丢失Jordan结构信息） | | 域要求 | 代数闭域 | 复数域 |

核心权衡：Jordan 形最精细但数值不稳定；Schur 形数值稳定但信息略少。实际计算一律用 Schur 分解。

关键应用

QR算法（Francis & Kublanovskaya, 1961）：反复执行 $A_k = Q_kR_k \to A_{k+1} = R_kQ_k$，序列 ${A_k}$ 在满足谱间隙条件时收敛到 Schur 形式。被列为"20世纪十大最有影响力算法"。

矩阵函数：若 $A = QTQ^$，则 $f(A) = Qf(T)Q^$，上三角矩阵的函数值由 Parlett 递推计算。矩阵指数 $e^A$、矩阵对数 $\ln A$、矩阵平方根 $A^{1/2}$ 等均通过此途径计算。

控制理论：线性系统稳定性（特征值实部符号）、Riccati 方程求解、$H_\infty$ 控制均依赖 Schur 形式。

特征值定位：Schur 不等式 $\sum|\lambda_i|^2 \leq |A|_F^2$ 提供无需求解特征多项式的快速估计（特别是在 $n > 4$ 时特征方程无根式解的情形）。

Schur补

对分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & B \ C & D \end{pmatrix}$（$D$ 可逆），Schur 补定义为

$$M/D = A - BD^{-1}C$$

由 Emilie Haynsworth（1968）以 Schur 名字命名，用于高斯消元、正定性判别、条件分布计算和 Kron 网络约化。

局限性

非唯一性：特征值排列顺序任意，存在重特征值时酉因子选择自由度更大
实数域：实矩阵只能得到"实 Schur 形"（准上三角，含 2×2 实块对应复特征值对）
Jordan结构信息丢失：严格上三角部分不是相似不变量
不变子空间问题：无穷维推广——一般可分 Hilbert 空间有界算子是否都有非平凡不变子空间——至今未解决

来源

raw/books/矩阵分析/08_schur_unitary_triangularization_1909.md