矩阵
概述
矩阵（Matrix）是由 $m \times n$ 个数按行列排列成的矩形阵列，是线性代数的核心对象。矩阵系统理论由阿瑟·凯莱（1855）奠基，用于表示线性变换、描述线性方程组，并在现代科学计算中无处不在。矩阵乘法表示线性变换的复合，是深度学习、计算机图形、控制理论的基本运算。
关键内容
- 基本运算：加法、数乘、矩阵乘法（非交换！）、转置 $(A^T){ij} = A{ji}$
- 特殊矩阵：方阵、对角矩阵、单位矩阵 $I$、对称矩阵（$A^T=A$）、正交矩阵（$A^T A = I$）、正定矩阵
- 行列式：方阵的标量量，$\det(AB) = \det(A)\det(B)$；$\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ 可逆
- 矩阵分解：LU、QR、SVD（奇异值分解）、Cholesky（正定矩阵）——各有最优应用场景
- 历史：凯莱1855年发表《矩阵论》奠定系统理论；西尔维斯特命名"矩阵"并研究矩阵行列式