正规矩阵
概述
矩阵 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 称为正规矩阵（normal matrix），若其与自身共轭转置对易：$A^A = AA^$。正规矩阵是可酉对角化矩阵的精确刻画：由伊赛·舒尔 1909年的Schur分解理论，$A$ 正规当且仅当存在酉矩阵 $Q$ 使 $A = QDQ^*$，其中 $D$ 为对角矩阵。Hermite 矩阵、酉矩阵、实对称矩阵、实正交矩阵均为正规矩阵的特例，它们各自的谱定理均是此一般定理的推论。
关键内容
定义与等价条件
定义：$A$ 正规 $\iff$ $A^A = AA^$
等价条件（均由 Schur 分解给出）： - $\exists$ 酉矩阵 $Q$ 使 $A = QDQ^$，$D$ 对角 - $A$ 的 Schur 三角形式 $T$ 为对角矩阵 - Schur 不等式取等：$\sum|\lambda_i|^2 = |A|_F^2$ - $A$ 的特征向量构成 $\mathbb{C}^n$ 的标准正交基 - $A$ 和 $A^$ 有相同的特征向量
正规矩阵的重要子类
| 子类 | 条件 | 特征值性质 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| Hermite 矩阵 | $A^* = A$ | 全为实数 | 协方差矩阵、Laplacian |
| 反 Hermite 矩阵 | $A^* = -A$ | 全为纯虚数 | $iH$（$H$ Hermite） |
| 酉矩阵 | $A^*A = I$ | 模全为1 | 旋转矩阵、DFT 矩阵 |
| 实对称矩阵 | $A^T = A$，$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ | 全为实数 | 刚度矩阵、相关矩阵 |
| 实正交矩阵 | $A^T A = I$，$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ | 模全为1 | 旋转/反射变换 |
所有上述子类均满足 $A^A = AA^$，是正规矩阵的特例。
谱定理（正规矩阵版）
定理：$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 正规，则
$$A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i q_i q_i^*$$
其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 为 $A$ 的特征值，$q_1, \ldots, q_n$ 为对应的标准正交特征向量。这是极大极小定理对一般正规矩阵的推广（不再要求对称性）。
与 Schur 不等式的关系
Schur不等式 $\sum|\lambda_i|^2 \leq |A|_F^2$ 的等号条件：
$$\sum_{i=1}^{n}|\lambda_i|^2 = |A|_F^2 \iff A \text{ 正规}$$
这给出了判断正规性的计算友好准则：只需计算特征值和 Frobenius 范数（两者都是 $O(n^3)$ 操作），无需验证 $n^2$ 个矩阵元素的等式 $A^A = AA^$。
非正规矩阵
非正规矩阵（$A^A \neq AA^$）具有"缺陷"（defective）特征结构： - Schur 不等式严格成立（严格上三角部分非零） - Jordan 块结构不可对角化 - 幂次行为可能复杂（即使谱半径 $<1$ 也可能先增大后衰减）
Pseudospectrum（伪谱）是分析非正规矩阵的现代工具，Trefethen 专著 Spectra and Pseudospectra 系统阐述了这一方向。
应用
- 量子力学：可观测量（Hermite 算子）和演化算子（酉算子）均为正规算子，谱定理保证了本征态的存在性和正交性
- PCA（主成分分析）：协方差矩阵（实对称正规矩阵）的谱分解提取主成分方向
- 图谱理论：无向图的邻接矩阵和 Laplacian 均为实对称正规矩阵
- 数值稳定性分析：正规矩阵的扰动行为最优（特征值 Lipschitz 连续），非正规矩阵可能对扰动极敏感
来源
- raw/books/矩阵分析/08_schur_unitary_triangularization_1909.md