切比雪夫多项式

概述

第一类切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials of the first kind）通过三角函数定义为 $T_n(x) = \cos(n\arccos x)$，$x\in[-1,1]$。这个将三角函数与多项式跨域联系起来的定义，赋予了它们独特的最优性质：在所有首项系数确定的同次多项式中，$T_n(x)$ 的 $L^\infty$ 范数最小（minimax 性质）。切比雪夫多项式是切比雪夫逼近理论的数学核心，也是谱方法和数值积分的基础工具。

关键内容

定义与递推

$$T_n(x) = \cos(n \arccos x) \quad (x \in [-1,1])$$

等价地：$T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$。

三项递推（实际计算用）：

$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x), \quad T_0=1,\; T_1=x$$

前几项：$T_2 = 2x^2-1$，$T_3 = 4x^3-3x$，$T_4 = 8x^4-8x^2+1$，$T_5 = 16x^5-20x^3+5x$。

五个核心性质

1. 有界性：$|T_n(x)| \leq 1$，$\forall x\in[-1,1]$

2. 等振荡性：$T_n(x)$ 在 $n+1$ 个极值点 $x_k = \cos(k\pi/n)$（$k=0,\ldots,n$）上交替取值 $\pm 1$

3. 零点（切比雪夫节点）：

$$\xi_k = \cos!\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right), \quad k=1,\ldots,n$$

全落在 $(-1,1)$ 内，端点附近更密集（由半圆弓向直径投影的几何直觉）

4. 正交性（权函数 $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$）：

$$\int_{-1}^1 \frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \begin{cases}0 & m\neq n\ \pi & m=n=0\ \pi/2 & m=n\neq 0\end{cases}$$

5. Minimax 性质：在所有首一（monic，首项系数为 1）$n$ 次多项式中，$\tilde{T}_n(x)=T_n(x)/2^{n-1}$ 的 $L^\infty$ 范数最小，其值为 $1/2^{n-1}$。

等价表述：在首项系数 $= 2^{n-1}$ 的多项式中，$T_n(x)$ 使 $\max|p(x)|$ 最小。

与傅里叶级数的联系

令 $x = \cos\theta$（$\theta\in[0,\pi]$），则 $T_n(x) = \cos(n\theta)$。切比雪夫展开 $\sum c_k T_k(x)$ 变为 $\theta$ 的傅里叶余弦级数 $\sum c_k\cos(k\theta)$。

实用推论：切比雪夫展开系数可通过离散余弦变换（DCT）或快速傅里叶变换以 $O(n\log n)$ 计算。

与其他正交多项式的关系

多项式族	权函数 $w(x)$	区间	切比雪夫联系
切比雪夫	$1/\sqrt{1-x^2}$	$[-1,1]$	— （自身）
勒让德	$1$	$[-1,1]$	雅可比多项式特例
雅可比	$(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$	$[-1,1]$	二者均为特例

切比雪夫多项式是雅可比多项式 $P_n^{(-1/2,-1/2)}(x)$（$\alpha=\beta=-1/2$）。

切比雪夫展开的快速收敛

对于光滑函数（$f$ 可解析），切比雪夫系数 $c_k$ 以指数速率衰减，截断级数 $\sum_{k=0}^N c_k T_k(x)$ 接近最佳一致逼近，实用中 $N$ 只需很小。相比泰勒展开，切比雪夫展开在整个区间上均匀精确，而非仅在展开点附近。

来源

raw/books/数值分析/07_chebyshev_approximation.md