西尔维斯特惯性律
概述
西尔维斯特惯性律（Sylvester's Law of Inertia，1852）是线性代数中关于实对称双线性型的基本定理：对于任意实对称矩阵 $A$，无论选择何种可逆线性变换 $P$，合同矩阵 $P^TAP$ 的正惯性指数（正特征值个数）$n_+$、负惯性指数 $n_-$ 和零化度 $n_0$ 均保持不变。这三个不变量（$n_+, n_-, n_0$）称为矩阵的惯性，是实对称矩阵在合同变换下的完全分类不变量。
关键内容
- 表述：若 $A$ 为 $n \times n$ 实对称矩阵，则对任意可逆矩阵 $P$，$P^TAP$ 与 $A$ 有相同的正特征值个数 $n_+$、负特征值个数 $n_-$ 和零特征值个数 $n_0$（其中 $n_+ + n_- + n_0 = n$）
- 符号差：$\text{sgn}(A) = n_+ - n_-$ 也是合同不变量
- 正定性判别：$A$ 正定 $\Leftrightarrow n_+ = n, n_- = n_0 = 0$；$A$ 半正定 $\Leftrightarrow n_- = 0$
- 应用：二次型分类、正定矩阵判别、物理中稳定性分析（势能极小 $\Leftrightarrow$ Hessian 正定）
来源
- 综合自内部引用：矩阵理论、詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 等