随机变量的收敛
概述
概率论中随机变量序列的多种收敛概念，包括依分布收敛、依概率收敛、几乎必然收敛、r 阶矩收敛等，不同收敛强度层层递进，构成了统计推断和大样本理论的数学基础。
关键内容
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收敛强度层级：L^s 收敛（s>r≥1）→ L^r 收敛 → 几乎必然收敛 → 依概率收敛 → 依分布收敛。反向一般不成立，但在特定条件下可逆（如极限为常数时依分布收敛等价于依概率收敛）。
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依分布收敛（最弱）：随机变量序列的累积分布函数 F_n(x) 逐点收敛到极限分布 F(x)（在 F 的连续点处）。记为 X_n →^d X。是中心极限定理使用的收敛类型。可用 Lévy 连续性定理（特征函数逐点收敛）刻画。
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依概率收敛：对任意 ε>0，P(|X_n - X| > ε) → 0。记为 X_n →^p X。统计学中估计量的一致性即依概率收敛到被估量。弱大数定律建立的正是这种收敛。由 Ky Fan 度量使其成为可度量拓扑。
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几乎必然收敛（最强常用）：P(lim X_n = X) = 1。记为 X_n →^a.s. X。与实分析中的逐点收敛最相似。强大数定律使用此收敛。不来自任何拓扑——不存在使几乎必然收敛序列恰好为该拓扑下收敛序列的度量。
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r 阶矩收敛：E(|X_n - X|^r) → 0。r=1 为均值收敛，r=2 为均方收敛。L^r 收敛蕴含依概率收敛（Markov 不等式），且 r>s≥1 时 L^r 收敛蕴含 L^s 收敛。
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关键定理：连续映射定理（连续函数保持各类收敛）、Slutsky 定理（X_n →^d X 且 Y_n →^d c 则 (X_n,Y_n) →^d (X,c)）、控制收敛定理（几乎必然收敛蕴含 L^1 收敛的充分条件）、Skorokhod 表示定理（依分布收敛可通过改变概率空间提升为几乎必然收敛）。
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几乎完全收敛：若 Σ P(|X_n - X| > ε) < ∞ 对所有 ε>0 成立，则几乎必然收敛。这是 Borel-Cantelli 引理的直接推论。
来源
- Convergence of random variables — Wikipedia 随机变量收敛词条