泰勒级数
概述
泰勒级数（Taylor Series）是将光滑函数在某点附近展开为幂级数的方法，由布鲁克·泰勒（1715）系统提出。若函数 $f$ 在点 $a$ 处无穷次可微，则 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$。当 $a=0$ 时称麦克劳林级数。泰勒级数是数值分析中误差估计和算法推导（如欧拉方法、龙格-库塔方法）的理论基础。
关键内容
- 重要展开：$e^x = 1+x+x^2/2!+\cdots$，$\sin x = x-x^3/3!+\cdots$，$\ln(1+x) = x-x^2/2+\cdots$（$|x|<1$）
- 余项估计：截断至 $n$ 阶的误差为 $O((x-a)^{n+1})$，用于分析数值算法的截断误差阶
- 收敛半径：级数收敛域由收敛半径 $R$ 决定（复分析视角：与最近奇点的距离）
- 数值应用：ODE 数值方法推导（欧拉方法即一阶泰勒展开）、函数近似计算、误差分析