泊松分布
概述
泊松分布（Poisson Distribution）由西梅翁·泊松于 1837 年推导，描述了在大量独立试验中稀有事件发生次数的分布：$P(X=k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!$（$k=0,1,2,\ldots$）。它是二项分布 $B(n,p)$ 在 $n\to\infty$、$p\to 0$、$np\to\lambda$ 极限下的极限分布。参数 $\lambda > 0$ 等于分布的期望和方差，是单位时间（或空间）内事件的平均发生次数。
关键内容
- 定义：$P(X=k) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，$k = 0, 1, 2, \ldots$
- 参数：$\lambda = np$（事件平均发生率），$E[X] = \text{Var}(X) = \lambda$
- 稀有事件极限：当 $n$ 大、$p$ 小（但 $np = \lambda$ 适中）时，二项分布可用泊松近似
- 应用场景：每小时到达的电话数、每年发生的交通事故数、放射性衰变的计数、网页每分钟的访问量
- 叠加性质：若 $X_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ 与 $X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$ 独立，则 $X_1+X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$
来源
- raw/books/概率论/08_poisson_law_of_large_numbers.md