皮埃尔·德·费马

概述

皮埃尔·德·费马（1601–1665）是法国图卢兹的律师兼业余数学家，被誉为"业余数学家之王"。他在数论（费马小定理、费马大定理）、解析几何和光学中都有奠基性贡献。1654年，53岁的费马与帕斯卡通过书信交流，用组合枚举法独立地解决了"点数问题"，共同开创了概率论。

关键内容

生平

• 生卒年：1601–1665（64岁）
• 国籍：法国
• 职业：图卢兹议会律师（数学为业余爱好）
• 领域：数论、解析几何、概率论

主要贡献

1. 数论：
2. 费马小定理：若p是质数，a不被p整除，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

3. 费马大定理：方程 x^n + y^n = z^n 当n > 2时无正整数解（陈述于1637年，直到1995年才被证明）

4. 解析几何：与笛卡尔独立地发现了解析几何的基本思想。

5. 概率论的诞生：1654年与帕斯卡的通信中，提出了解决"点数问题"的组合枚举法：

6. 关键洞察：不管赌局是否会提前结束，想象双方总共再进行 (a+b-1) 局（足以决出胜负）
7. 这(a+b-1)局共有 2^(a+b-1) 种等可能的结果序列
8. A获胜的序列是那些其中至少有a个回合A赢的序列
9. 概率 = 有利序列数 / 总序列数

在概率论中的角色

费马的组合枚举方法的核心洞察： - 将所有可能的未来结果列举出来 - 计算"有利结果"的比例 - 这个比例就是"公平价值"（即概率）

与帕斯卡的关系： - 两人独立地用不同方法解决了同一个问题 - 帕斯卡用递推（backward induction），费马用枚举（样本空间） - 两人的答案完全相同，相互印证 - 费马的方法虽然在概念上更直观，但对于较大数字会很繁琐 - 帕斯卡的递推方法更优雅高效

来源

• 点数问题
• 概率论

相关

• 布莱兹·帕斯卡
• 组合枚举法
• 样本空间