Laplace 变换
概述
Laplace 变换（Laplace Transform）是由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在处理连续概率问题时引入的积分变换工具，定义为：
$$\mathcal{L}f = \int_0^\infty f(t)\, e^{-st}\, dt$$
它将时域（或概率域）中的函数 $f(t)$ 转换为复频域的函数 $F(s)$，使微分方程变为代数方程，从而极大地简化分析。Laplace 变换是生成函数从离散到连续函数的自然推广，也是概率论中矩母函数（moment generating function）的早期形式。
关键内容
- 来源：Laplace 在 Théorie analytique des probabilités（1812）中引入，用于处理连续概率分布的积分计算和大数近似
- 关系与生成函数：离散的生成函数 $G(z) = \sum a_n z^n$ 对应连续的 Laplace 变换 $F(s) = \int f(t)e^{-st}dt$，两者的代数性质和应用思路高度相似
- 主要性质：线性性、时域微分对应频域多项式乘法（$\mathcal{L}f' = sF(s) - f(0)$）、卷积定理
- 与概率论的联系：在概率论中，若 $X \geq 0$ 为随机变量，则 $\mathcal{L}\text{PDF}_X = \mathbb{E}[e^{-sX}]$ 即为矩母函数，控制矩的生成和分布的唯一性
- 现代影响：Laplace 变换成为信号处理、控制理论、电路分析、偏微分方程和概率论的基本工具；工程学中的传递函数（transfer function）依赖于此
来源
- raw/books/概率论/06_laplace_theorie_analytique.md