采样定理

概述

采样定理（Sampling Theorem）指出：一个频率不超过 W Hz 的连续信号，可以由每秒 2W 个等间隔采样值完全确定，并通过 sinc 插值精确重构。

关键内容

严格表述

一个频率不超过 W Hz 的连续信号 f(t)，可以由每秒 2W 个等间隔采样值完全确定：

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f\left(\frac{n}{2W}\right) \cdot \text{sinc}\left(2W\left(t - \frac{n}{2W}\right)\right)$$

重要意义

采样定理将连续时间信号问题转化为离散序列问题。一个持续 T 秒、带宽 W Hz 的信号等价于 2WT 个实数——信号空间的维度是有限的。

直觉

一个带限信号不能"太快变化"——最快变化的频率不超过 W Hz。因此，每 1/(2W) 秒取一个样本就足以捕获信号的全部信息。中间时刻的值完全由这些样本决定。

发现历史

该定理的发现历史比较复杂，在不同文献中有不同命名：

人物	年份	背景
Whittaker	1915	纯数学插值公式
Nyquist	1928	电报传输理论
Kotelnikov	1933	苏联独立发现
Shannon	1949	信息论框架下最清晰完整的表述

实际应用

• CD 音频采样率 44.1 kHz（人耳听觉上限约 20 kHz）
• 电话语音采样率 8 kHz（语音带宽约 3.4 kHz）
• 所有数字信号处理系统的基石

来源

• raw/books/信息论/03_shannon_1949_communication_in_presence_of_noise.md — Shannon (1949) 深度解析

相关

• 克劳德·香农 — 信息论框架下的完整表述
• 奈奎斯特 — 早期贡献者
• Shannon-Hartley公式 — 依赖采样定理推导
• 信息论 — 所属学科