样条方法
概述
样条方法（Spline methods）用分段低次多项式逐段拼接来逼近函数，是对龙格现象的直接回应。与整体高次多项式不同，每段只需低次多项式（通常三次），在拼接点保持连续性和光滑性（$C^2$ 连续），从而规避了全局多项式在端点附近振荡失控的问题。样条方法由 Isaac Schoenberg 在 1946 年系统发展，是 20 世纪数值分析最重要的发展之一，也是计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学的基础。
关键内容
核心思想：分段代替整体
整体高次多项式（龙格的问题）：$n+1$ 个节点 → $n$ 次全局多项式 → 端点振荡失控。
样条：将区间 $[a,b]$ 划分为子区间，在每段用低次多项式，在分割点（节点）处施加光滑性约束。
三次样条（Cubic Spline）
最常用形式。在每个子区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上用三次多项式，整体满足 $C^2$ 连续（函数值、一阶导、二阶导处处连续）。
自由度计算：$n$ 段，每段 4 个系数 = $4n$ 个自由度；$C^2$ 连续条件 = $3(n-1)$ 个约束；插值条件 = $n+1$ 个；还需 2 个边界条件（自然样条：端点二阶导为零；夹紧样条：端点一阶导给定）。
数值稳定性：三次样条系数由三对角线性方程组确定，条件数良好，远优于高次全局插值。
B 样条（B-Spline）
B 样条（Basis Spline）是样条的更灵活表示，以"基函数 + 控制点"形式表达。
- 局部支撑性（Local support）：每个基函数只影响有限个子区间，改变一个控制点只影响局部形状
- 数值稳定性极好（非负基函数，单位分解）
- 推广至 NURBS（非均匀有理 B 样条），是 CAD/CAM/CAE 的标准曲线/曲面表示
样条 vs 切比雪夫节点：两条解决路线
| 方案 | 核心思想 | 优势 | 局限 |
|---|---|---|---|
| 切比雪夫节点 | 优化全局多项式的节点分布 | 高阶精度，近似最优 | 要求光滑函数，端点固定 |
| 样条方法 | 分段低次，分而治之 | 不要求高光滑性，局部修改 | 精度受限于分段次数 |
两者在现代实践中各有用途：谱方法用切比雪夫，CAD/工程插值用样条。
历史发展
| 年份 | 贡献 |
|---|---|
| 1946 | Isaac Schoenberg 系统建立样条函数理论（受龙格现象启发） |
| 1962 | J. C. Ferguson 将三次样条用于 Boeing 飞机曲面设计 |
| 1972 | Gordon & Riesenfeld 将 B 样条推广为 B 样条曲面 |
| 1975 | Versprille 博士论文提出 NURBS，CAD 工业标准基础 |
应用
- CAD/CAM：NURBS 是曲线/曲面的工业标准
- 计算机图形学：贝塞尔曲线（Bézier curve）是 B 样条的特例
- 有限元方法：等几何分析（IGA）将 B 样条/NURBS 作为有限元形函数
- 数据拟合：避免龙格现象的鲁棒插值工具
- 图像处理：双三次样条插值（双线性插值的光滑升级）
来源
- raw/books/数值分析/09_runge_phenomenon.md