Hamming码

概述

Hamming 码是 Richard Hamming (1950) 发明的第一个实用纠错编码方案，用 7 位传输 4 位信息（码率 4/7 ≈ 57%），能自动检测并纠正单个比特错误。

数据位 d₁, d₂, d₃, d₄ 放在位置 3, 5, 6, 7。校验位 p₁, p₂, p₃ 放在位置 1, 2, 4（2 的幂次位置）。

位置:  1   2   3   4   5   6   7
内容:  p₁  p₂  d₁  p₃  d₂  d₃  d₄

接收后计算三个伴随式（syndrome）s₁, s₂, s₃。如果全为 0，无错误。否则 (s₃s₂s₁)₂ 的二进制值直接给出出错的位置！

例如 s₃=1, s₂=0, s₁=1 → 出错位置 = (101)₂ = 5，翻转第 5 位即可纠正。

校验位放在 2 的幂次位置，使得伴随式的二进制值直接指向出错位置——这是一个极其优雅的构造。

增加一个全局奇偶校验位，将 (7,4) 码扩展为 (8,4) 码，实现单纠错双检错（SECDED: Single Error Correction, Double Error Detection）。这一扩展几乎不增加开销却显著提高可靠性。